Учебные материалы

Приемов устного счета очень много. Все эти приемы можно объединить в две группы:

- общие (приемы, в которых используются свойства арифметических действий, используются для любых чисел)

- специальные (для конкретных чисел, частные случаи).

Общие приемы

Общие приёмы устного счёта могут быть применимы к любым числам. Они основываются на свойствах десятичного числа и применении законов и свойств арифметических действий.

Рассмотрим прием, основанный на знании законов и свойств арифметических действий.

При сложении двух и более чисел часто используется такой прием, включающий три этапа:

1) Разложение каждого слагаемого на разряды – единицы, десятки,  сотни, тысячи, сотни тысяч и т.д.

2) Использование сочетательного и переместительного свойств.

3) Выполнить сложение каждой из получившихся групп.

Пример:

Требуется сложить 28, 47, 32 и 13.

1) пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды – десятки и единицы.

28=20+8              32=30+2

47=40+7              13=10+3;

2) воспользуемся сочетательным и переместительным свойствами:

20+30+8+2+40+10+7+3 – (переместительный закон);

(20+30)+(8+2)+(40+10)+(7+3) – (сочетательный закон);

3) выполняем сложение каждой группы:

50+10+50+10;

4) 50+50+10+10 (переместительный закон);

5) 100+10+10=120 выполняем сложение.

Специальные приемы

Приёмы, которые применимы только к некоторым числам и некоторым действиям.

Приём №1. Приём округления

Очень эффективный и часто употребляемый приём устного счёта. Этот приём можно использовать во всех четырёх арифметических действиях.

Прием заключается в следующем:

1) К одному из слагаемых (уменьшаемому, вычитаемому, множителю, делимому, делителю) добавляется столько единиц, сколько не хватает до нужного «круглого» числа.

2) Затем из результата вычитается столько же единиц, сколько прибавляли.

Примеры:

1) 399+473=400+473=873–1=872 (399 округляется до 400, т.е. прибавляется 1, а затем из результата вычитается 1).

399+473=(399+1)+(473–1)=400+472=872.

2) 56–38=(56+4–38) – 4=(60–38) – 4=22–4=18   (если  уменьшаемое   увеличить на несколько единиц, то остаток или разность необходимо увеличить на соответствующее количество единиц).

3) 72–15=((72–2) –15)+2=(70–15)+2=57 (если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то остаток или разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Следовательно, это количество необходимо  прибавить.

4) 752–298=(752 – (298+2))+2=(752–300)+2=452+2=454  (если  вычитаемое   увеличить  на  несколько  единиц,  то  остаток  или   разность   уменьшаются на соответствующее количество  единиц.  Чтобы  этого  не  произошло к полученному результату необходимо прибавить вычтенное  число.

93–22=(93 – (22–2)) – 2=(93–20) – 2=73–2=71.

Приём №2. Приём перестановки слагаемых или перестановки сомножителей

Суть приёма заключается в перемене мест слагаемых для того, чтобы сначала сложить те числа, которые в сумме дают «круглое» число или просто более легко складываются.

Примеры:

1)    389+567+111=389+111+567=500+567=1067 (переместительные свойства суммы).

2)257+1998+3055=2357+1997+(3010+45)=2357+1998+3010+43+2=2357+43+1998+2+3010=2400+2000+3010=7410  (первое  и  второе  слагаемые  дополняются за счёт третьего).

Приём №3. Приём замены одного действия другим

Замена вычитания  сложением:  вычитаемое  сначала  дополняется  единицами до «круглого» числа, а затем полученное «круглое» число дополняют уже до уменьшаемого, т.е. основное действие вычитания заменилось на «двойное» сложение.

Примеры:

1) 600–289 дополняем 289 до 300: это 11 и ещё 300 до 600. Итого: 311

Вместо того чтобы вычислять 600–289=311, мы вычисляем 289+11+300=600, при этом без записи, произнося про себя 11, 300, итого 311

2) 730–644 вычитаемое 644 дополняем до 650 (6), затем до 700 (50) и до 730 (30): 6+50+30=86.

Приём №4. Приём умножения на 5, 50, 500

Множитель, который умножается на 5, 50, 500, необходимо представить в виде суммы, а затем, используя сочетательное свойство умножения, выполнить действие уже в более упрощенном варианте.

Но есть более простой способ. Если один из множителей увеличить в два  раза,  то  и  произведение  увеличится  в  2  раза,  следовательно,  для  получения искомого результата надо полученное произведение уменьшить в два раза.

(первый множитель делим пополам, т.е. на два, а второй множитель увеличиваем в 2 раза)

Умножение чисел на 50 и 500 начинается так же, как и умножение на 5, с деления,  множимого  на  2  и  заканчивается  умножением  полученного  результата на 100 или 1000, что равносильно приписыванию двух или трёх нулей справа.

Приём №5. Приём умножения на 25, 250, 2500

При умножении числа на 25, сначала необходимо умножить на 100, а полученный результат разделить на 4, чтобы получить искомую величину произведения. Можно наоборот сначала разделить на 4, а потом умножить на 100.

Аналогично выполняется умножение на 250 и на 2500.

Приём №6. Прием умножения на 125

Т.е. в тысяче 125 содержится 8 раз, т.е. сначала необходимо умножить на 1000, а полученный результат разделить на 8. Можно наоборот сначала разделить на 8, а потом умножить на 1000.

Приём №7. Приём умножения на 15

Пятнадцать состоит из одного десятка и 5 единиц, но 5 это половина 10, следовательно, можно число умножить на 10 и взять ещё половину полученного от умножения этого числа на десять.

Особенно эффективен этот приём умножения на 15 чётных чисел, где действия можно выполнить так: 

А с нечётными так: 

Приём №8. Приём умножения на 9 и 99

Множители 9 и 99 на  единицу  меньше  круглых  чисел  10  и  100.  Поэтому умножение числа 9 можно выполнить так:

умножить число на 10 и вычесть из полученного это же число, умноженное на единицу (т.е. брать число не 9, а десять раз и уменьшать после на это же число)

Умножение числа на 99 производится аналогично.

Примеры:

1) 25·9=25·10–25·1=250–25=225;

2) 35·99=35·100–35·1=3500–35=3465.

Приём №9. Приём умножения на 11

Этот приём аналогичен умножению на 9, только здесь необходимо числа сначала умножить на 10, а после прибавлять ещё один, одиннадцатый, раз это же число.

Примеры:

1) 87·11=87·10+87·1=870+87=957;

2) 232·11=232·10+232·1=2320+232=2552.

Это общий приём умножения на 11.

Умножение на 11 двухзначного числа осуществляется очень простым способом:

достаточно между цифрами, стоящими в разряде десятков и в разряде единиц, вставить их сумму. Если сумма выражается двухзначным числом, то десятки плюсуются с первым числом.

Примеры:

1) 54·11=594, (5+4=9);

2) 78·11=858, (7+8=15, 7+1=8).

Рассмотрев способы рационализации вычислений, организацию устных и приближенных вычислений, признаки делимости,  прикидку  и  оценку  вычислений, обзор  заданий  из  школьных  учебников,  во  второй  главе  рассмотрим методические основы формирования вычислительной культуры.